1.1 

65 learners

✔ answer (1)

1.2 

Modal class: 30 ≤ x < 40

✔ answer (1)

1.3 

a = 12 
b = 61 – 45 
 = 16

✔ answer 
✔ answer (2)

1.4 

No. of learners = 65 – 54 OR 65 – 55 
                        = 11                 = 10  Answer only: full marks

✔ 54 or 55 
✔ 11 or 10 (2) 

[6]

2.1.1 

IQR of Class B/IKV van Klas B = Q3 − Q1 

 = 72 – 51 

 = 21 marks/punte

✔72 and 51  
✔ 21 only  (2)

2.1.2 

Although the boxes contain the same number of data points, the  marks for Class A are more widely spread
OR
Although the boxes contain the same number of data points, the  marks for Class B are more clustered.

✔✔ Class A is more widely  spread (2) 
✔✔ Class B is   more clustered (2)

2.1.3 

Medians are the same
Ranges are the same OR Maximum and minimum values are the  same
75% of both classes obtained 51 and above

✔✔any TWO  of the 3  reasons  mentioned (2)

COUPLE

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8

JUDGE 1 

18 

4 

6 

8 

5 

12 

10 

14

JUDGE 2

15 

6 

3 

5 

5 

14 

8 

15

2.2.1 

a = –0,03 
b = 0,93 
yˆ= –0,03 + 0,93x

✔ value a 
✔ value b 
✔ equation  (3)

2.2.2

yˆ= –0,03 + 0,93(15) 
 = 13,92 OR 13,85 
 ≈ 14

✔ substitution 
✔ answer  (2)

2.2.3 

Yes OR they are consistent, because r = 0,9. (r = 0,89567…)

✔ statement 
✔ r = 0,9 (2) 

[13]

3.1

m_TQ = 4 - 0
            0 - 3
= - ⁴/₃

✔ answer (1)

3.2

d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
RQ = √(10 − 3)² + (7 − 0)² 
RQ = √98 = 7√2

✔substitution
✔ answer in surd form   (2)

3.3

m_FQ = m_TQ
− 8  = − 4 
k - 3      3

4k −12 = 24 
k = 9 
OR
m_FT = m_QT
− 8 - 4 =   − 4 
   k - 0          3
-36 = -4k
k = 9
OR
Equation of TQ: y =  - 4 x  + 4 
                                   3
− 8 = − 4k + 4
            3 
 k = 9

✔ equating gradient
✔ m_FQ =  − 8  
               k - 3 
✔ simplification
✔ answer  (4) 

✔ gradient 
✔ equation of TQ 
✔ substitution of (k ; - 8) 
✔ answer  (4)

Using transformation:
∴S(7 ; 11) 
OR
Midpoint of TR = midpoint of SQ [diag ||m] 
Midpoint of TR = (5 ; ¹¹/₂ ) 
xS + 3 = 5 and  yS + 0 = 11
     2                        2        2
∴ x_S = 7 and y_S = 11
∴ S(7 ; 11)
OR
Equation of TS:  y  = [ 7 - 2]x + 4 = x + 4
                                 [10 - 5]
Equation of RS: y - 7 =  - 4(x - 10)
                                        3
y = - 4x  + 61 
        3        3
x + 4 = - 4x  +  61
               3        3
7x = 49
x = 7
∴ y = 11
∴ S(7 ; 11)

✔✔ x–value
✔✔ y–value  (4) 

✔ x–value
✔ y–value 
✔ x–value
✔ y–value (4) 

✔ equations of TS and RS
✔ equating 
✔ x–value
✔ y–value (4)

 TSR = TQR   [opp∠ s of ΙΙ]
TQR = ∝ - β
tan ∝ = m_TQ =  - 4
                           3 
∴  ∝ 180º -  53,13º = 126,87º
tan β = m_RQ = 7 = 1
                        7
∴  β = 45º
TQR = 126,87º - 45º
=81,87º
TSR = 81,87º

OR

 TQ = SR = 5
TR = √100 + 9 = √109
RQ = TS = √49 + 49 = √98
cosRQT = cosTSR = TQ² + RQ² -TR²
                                       2.TQ.RQ
= 25 + 98 - 109 
       2(5)(√98)
=0,141.....
RQT = TSR =  81,87º

✔ tan β = m_RQ
✔β 
✔ answer (6)

✔ length of TQ OR SR 
✔ length of TR 
✔ length of RQ OR TS 
✔ correct subst into cosine rule 
✔simplification 
✔ answer (6)

✔substitution
✔MQ= √8 = 2√2
✔ answer (3)

area of ΔTQM = ½.QM. ⊥h    [⊥h same]
area of Δ TQR = ½.QR. ⊥h 
=QM = 2
  QR    7
      area of ΔTQM       =     area of ΔTQM
area of parm RQTS            2 × area of Δ TQR
= 1 [2] = 1 
   2 [7]     7

OR

area of ΔTQM = QM
area of Δ TQR = QR
=2
  7
      area of ΔTQM       =     area of ΔTQM
area of parm RQTS            2 × area of Δ TQR
= 1 [2] = 1 
   2  7     7

OR

      area of ΔTQM       =    ½.QM. ⊥h   
area of parm RQTS             RQ. ⊥h 
= 1 [2] = 1 
   2 [7]     7

OR

      area of ΔTQM       =    ½.QT.QM. sin(α - β)
area of parm RQTS            2area of ΔQTR
=  ½.QT.QM. sin(α - β)
   2[½.QT.QM. sin(α - β)]
= 1 [2] = 1 
   2  7     7

✔ area of ΔTQM =   2  
   area of Δ TQR      7
✔ area of parm RQTS    =  2 × area of Δ TQR
✔ answer  (3)

✔ area of ΔTQM =   2  
    area of Δ TQR     7
✔ area of parm RQTS    =  2area of Δ TQR
✔ answer  (3)

✔ ½.QM. ⊥h   
      RQ. ⊥h 
✔  1 [2] 
     2 [7]
✔answer (3)

✔ area of parm RQTS    =  2area of Δ TQR
✔  ½.QT.QM. sin(α - β)
   2[½.QT.QM. sin(α - β)]
✔ answer (3)

[23]

4.1 

line from centre to midpt of chord

✔ answer (1)

4.2

m_ST = 8 - 5
          -3 - 0
-1
m_ST × m_NP= −1                        [TS ⊥ NP] 
∴ m_NP= 1
∴y = x + c 
8 = –3 + c    
c = 11
y = x +11
OR
y − y₁ = 1(x − x₁) 
y − 8 =1(x + 3) 
y = x +11
∴y = x +11 

✔ subst (–3 ; 8) and  (0 ; 5) into gradient formula
✔m_ST 
✔m_NP 
✔ subst (–3 ; 8) into   equation of a line 
✔ equation  (5)

4.3 

P(0 ; 11)        [y-intercept of chord NP] 
∴ radius is 6 units 
R(0 ; –1)  
Equations of the tangents to the circle parallel to the x-axis
y =11  and y = −1

✔ coordinates of P 
✔ coordinates of R 
✔✔ answers (4)

4.4 

M(–11 ; 0)        [x–intercept of NP]
M_T = √(0 −11)² + (5 − 0)² 
M_T= √146= 12,08

✔✔ coordinates of   M 
✔ substitution 
✔ answer (4)

✔ radius of circle 
✔ x value of M 
✔ y value of M 
✔ LHS of equation
✔ RHS of equation (5) 

a = −1  
b = 2

✔ answer 
✔ answer (2)

f(3x)= – sin 3x 
Period of f(3x) = 360º
                            3
 = 120º
Answer only: Full marks

✔360º
     3 
✔ answer (2)

x ∈ [90º ; 135º) ∪ {180º}  
OR
90º ≤ x < 135º or x = 180º

✔ 90º and 135º in interval form
✔ 180º as single  value 
✔ correct brackets (3) 
✔ 90º and 135º  in interval form
✔ 180º as single  value 
✔ correct   inequalities (3) 

cos 72º = cos(2×36º) 
 =1− 2sin² 36º
Answer only: Full marks

✔ double angle
✔answer  (2)

R.T.P.: 1 -    tan²θ    = cos²θ
                1 + tan²θ
LHS = 1 + tan²θ - tan²θ
             1 + tan²θ
=          1                     
     1 + ^sin2θ/_cos²θ
=             1              
    [cos²θ + sin²θ]
    [       cos²θ      ]
=        1       
    ¹/_cos²θ
= cos²θ
= RHS

OR

LHS = 1 + tan²θ - tan²θ
             1 + tan²θ
=          1                     
     1 + ^sin2θ/_cos²θ
=            1             ×   cos²θ
  [   1 +  sin²θ     ]       cos²θ
  [     cos²θ         ]
=              cos²θ          
     cos²θ    +    sin²θ
=  cos²θ
         1
=RHS

OR

 LHS = 1 - [sin²θ   _÷    (1   +  sin²θ)]
                 [cos²θ        (       cos²θ)]
= 1 - [sin²θ  ×          cos²θ       ]
        [cos²θ      cos²θ + sin²θ  ]
= 1 - [sin²θ  ×          cos²θ       ]
        [cos²θ                  1         ]
= 1 -   sin²θ
=  cos²θ 
= RHS

✔writing as a single fraction
✔ quotient identity
✔denominator as a single fraction
✔square identity/vierkantidentiteit (4) 

✔writing as a single fraction
✔quotient identity
✔ ×   cos²θ
         cos²θ
✔ square identity (4) 

✔ quotient identity
✔ writing as a single fraction
✔square identity
✔simplification(4)

cos²½x = ¼
cos²½x = ½  or -½ 
½ x = 60º + k.360º                 or      ½ x = 300º  + k.360º  
OR
½ x = 120º + k.360º               or     ½ x = 240º  + k.360º  
x = 120º + k.720º                   or      x  =  600º  + k.720º    
OR
x = 240º  + k.720º                  or      x  = 480º + k.720º;   k ∈ Z

OR
cos²½x = ¼
cos²½x = ½  or -½ 
½ x = ± 60º + k.360º    or      ½ x = ±120º + k.360º  
x =  ±120º + k.720º         or      x =  ±240º  + k.720º   ; k ∈ Z

✔✔ cos²½x = ¼
✔ 60º and 300º
✔120º and 240º
✔ write at least one general  solution as ½ x = ∠ + k.360º  
✔ write at least one general solution as x = ∠ + k.720º;   k ∈ Z  (6)
✔✔ cos²½x = ¼
✔ ± 60º
✔ ±120º
✔ write at least one general solution as ½ x = ∠ + k.360º  
✔ write at least one general  solution as x = ∠ + k.720º;   k ∈ Z  (6)

sin(A −B)= cos[90º − (A − B)]
 = cos[(90º − A) − (−B)]
 = cos(90º − A)cos(−B) + sin(90º − A)sin(−B)
=sin AcosB+ cos A(−sinB)
 =sin AcosB− cos AsinB 

OR

sin(A −B)= cos[90º − (A − B)]
 = cos[(90º + B) − A]
 = cos(90º + B)cosA + sin(90º + B)sinA
= − sinBcosA + cosBsinA
 =sin AcosB− cos AsinB

✔ co–ratio
✔ writing as a difference of A & B
✔ expansion
✔ all reductions (4) 

✔ co–ratio
✔ writing as a difference of A & B
✔ expansion
✔ all reductions (4)

✔cos(x + 379º) = cos(x +19º)
✔✔cos(x + 244º) = −cos(x + 64º)
✔✔compound formula identity
✔ sin 45º (6) 

7.1

sin 27º =    CD  
                  8,6 
CD = 8,6sin 27º
CD = 3,90 m

✔ substitution in correct trig ratio 
✔ answer     (2)

7.2

cos 40º =   10  
                  AE 
AE  =    10       
          cos40º 
AE =13,05m

✔substitution in correct trig ratio 
✔ answer (2)

7.3

AC² = CE² +  AE² - 2CE.AE(cos AEC)
=  (8,6)² + (13,05)² - 2(8,6)(13,05)(cos70º) 
 =167,49 
AC=12,94 m

✔ correct use of cosine rule in ΔACE
✔ correct subst into cosine rule 
✔AC² 
✔ answer  (4) 

8.1

ˆQ = 72°           [opp ∠s of cyclic quad] 

✔ S
✔ R   (2)

8.2

R₂ = P₁       [∠s opp equal sides]
R₂ = 180° - 72°  [sum of ∠s in ∆]
               2
=54°

✔ S/R 
✔ answer (2)

8.3

P₂ = 42°
[tan chord theorem] 

✔ S
✔ R (2)

8.4

R₃ = P₁ + P₂
 [ext ∠ of cyclic quad] 
= 54° + 42° 
 = 96° 

OR 

R₁ =180° −108° − 42° = 30° 
[sum of ∠s/e in ∆] 
R₃ = 180° - R₁ - R₂
[∠s on str line] 
= 180° – 30° – 54°
[sum of ∠s/e in ∆] 
= 96°

✔ R 
✔ S  (2) 

✔ R₁ = 30° 
✔ S (2) 

9.1.1

ST = SW [prop theorem ; TW || QP] 
TQ    WP
 = ²/₃

✔ S 
✔ S (2)

9.1.2

SV = SW
VR    WP 
[prop theorem ; VW || RP]  
= ²/₃

✔ answer (1)

9.2

ST= SV [both equal  ^WS /_PW ] 
TQ  VR  [line divides 2 sides of ∆ in prop]
∴ TV || QR
∴T₁ = Q₁ = [corresp∠s/e; TV || QR]

✔ S 
✔ S ✔ R 
✔ R (4)

9.3 

ΔVWS ||| ΔRPS 

✔ ΔRPS (any order) (1)

9.4

WV  = SW    [ ΔVWS ||| Δ RPS]  OR     WV  = SV      [ ΔVWS ||| Δ RPS]
= ²/₅                                                                            = ²/₅

✔ ratio 
✔ answer (2) 

Constr : 
Draw line PO and extend
Proof : 
OP = OA [radii] 
∴ P₁ =  A   [∠s opp = sides] 
but   O₁ = P₁ + A  [ext ∠ of Δ] 
∴ O₁ =  2P₁
Similarly,  O₂ = 2P₂ 
∴ O₁ + O₂ = 2(P₁ + P₂)
ie: AOB = 2APB

✔ construction 
✔ S/R 
✔ S/R 
✔ S 
✔ S (5)

10.2.1 

∠s in the same segment

✔ R (1)

10.2.2

P₂ = S₁ = y        [∠s opp equal sides]
S₁ = P₃ = y       [tan chord theorem]
∴ P₂ = P₃
∴ PQ bisects TPS

✔ S ✔ R 
✔ S ✔R  (4)

10.2.3

POQ = 2S₁ = 2y
[∠at centre =2×∠at circ] 

✔ S ✔ R (2)

10.2.4

TPA = P₂ + P₃ = 2y   [proved in 11.2.2]
∴TPA = POQ             [proved in 11.2.3]
∴ PT = tangent          [converse tan chord theorem]

✔TPA = POQ 
✔ R  (2)

OPQ + OQP = 180º - 2y    [sum of∠ s/e in Δ]
∴ OQP = 90º -y  [∠ s opp equal sides; OP = OQ]
In ΔPAQ:
OQP + P₂ + QAP =  180º
90º - y + y + QAP =   180º  [sum of∠ s/e in Δ]
∴ QAP =  90º   [∠ s/e on straight line]

OR

OTP =  90º   [radius ⊥ tangent]
∴ P₁ =  90º   - 2y 
P₁ + O + OAP =  180º [sum of∠ s/e in Δ]
(90º - 2y) + 2y + OAP =  180º
∴ OAP =  90º 

OR

POSQ is a kite
∴ OQ ⊥ PS   [diag of a kite]
∴ QAP =  90º 

OR

In ΔOAP and ΔOAS
OP = OS [radii]
OA is common
POA = 2y
= 2P₂
= QOS
ΔOAP = ΔOAS(SAS)
OAP = OAS (ΞΔs)
OAP = OAS = 90º  [∠ s on straight line]

✔ S  
✔ S ✔ R 
✔ S 
✔ S  (5) 

✔ S ✔ R 
✔ S 
✔ S 
✔ S (5) 

✔✔✔ S 
✔✔ R (5) 

✔ S 
✔ S 
✔ S 
✔ R 
✔ S   (5) 

11.1

N₂ = 90° [∠ in semi-circle] 
∴ TPLN is a cyclic quad [opp ∠s of quad is suppl]

OR 

N₂ = 90° [∠ in semi-circle] 
∴ TPLN is a cyclic quad [ext ∠ = int opp ]

✔ S ✔ R  
✔ R (3) 

✔ S ✔ R
 ✔ R (3)

11.2

T₂ = PLN = x  [ext ∠ of cyclic quad] 
K = 90° − x  [sum of ∠s/e in ∆] 
N₁ = K = 90º  - x    [tan chord theorem] 

OR

K = 90° − x  [sum of ∠s/e in ∆] 
N₁ = K = 90º  - x    [tan chord theorem] 

OR 

N₃ = x   [tan chord theorem] 
N₂ = 90°  [∠in semi circle] 
N₁ = 90° − x  [straight line]

✔ R  
✔ S ✔ R (3) 

✔ R  
✔ S ✔ R (3) 

✔ R  
✔ S 
✔ S  (3)

In ΔKTP and ΔKLN: 
PKT = LKN                [common] 
KPT = KNL = 90°       [given] 
∴ Δ KTP | | | Δ KLN [∠∠∠] 

OR

In ΔKTP and ΔKLN: 
PKT = LKN                 [common] 
 KPT = KNL = 90°       [given] 
T₂ = PLN = x            [proved in 11.2 OR sum of ∠s in ∆]
∴ Δ KTP | | | Δ KLN

✔ S 
✔ S 
✔ R (3) 

✔ S 
✔ S 
✔ S (3)

KT=  KP               [||| Δs] 
KL     KN 
∴KT . KN = KP . KL 
But KL = 2KP           [radii: PK = LP] 
∴KT . KN = KP . 2KP 
 = 2KP² 
 = 2(KT²– TP²) [Theorem of Pythagoras] 
= 2KT² − 2TP²

✔ S/R 
✔ S 
✔ S 
✔ S 
✔ S (5)