TECHNICAL MATHEMATICS PAPER 1
GRADE 12
NATIONAL SENIOR CERTIFICATE
MEMORANDUM

NOVEMBER 2019

MARKING CODES
 Accuracy
AO Answer only 
CA Consistent accuracy 
M Method 
R Rounding 
NPR No penalty for rounding 
NPU No penalty for unit 
S Simplification
F Correct formula
SF Substitution in correct formula

MARKS: 150
These marking guidelines consist of 24 pages.

NOTE:

  • If a candidate answers a question TWICE, only mark the FIRST attempt.
  • Consistent accuracy to be applied as indicated on the marking guidelines.
  • # Shows questions where Tolerance Range will be applied are Q1.3, Q3.2, Q5.2 and Q5.3.

QUESTION 1 

1.1.1

p (x) = 2x2 -
                   81
= 2 (x24/81)
= 2 (x - 2/9) (x + 2/9)

OR
p(x) =162x2 - 8
               81
2(81x2 - 4)
         81
= 2(9x - 2)(9x + 2)
              81

common factor  A 
both factors CA

OR
common factor A
both factors CA (2)

1.1.2

p(x) = 2 (x - 2/9) (x + 2/9) = 0
x =2/9   or  x = - 2/9    

OR
x = ± 2/9  OR x ≈ ± 0, 22 
OR
11
x =2/9   or  x = - 2/9  OR
x = ± 2/9  OR x ≈ ± 0,22

both values of CA

OR
both values of CA (1)

1.2.1 (3x -5)(x + 2) = -13

3x2 + x - 10 + 13 = 0
3x2 + x + 3 = 0
x = b ± √b2 - 4ac
                2a
x = - (1) ±    (1)2 - 4(3)(3)
                   2(3)
x -1 ±  √- 35
            6 
x = -1± √35   OR  x ≈ -1± 5,92i
           6                             6

OR
x = -1 + √35 i or  - 1 - √ 35 i
      6        6           6       6

OR 
x ≈ - 0,17 + 0,99i   or   x  -0,17 - 0,99i

OR 
x = -1 + √35 OR x ≈- 0,17 ± 0,99i
      6        6  

standard form A
SF   CA
S     CA

√−35 = √35 i    CA

both x-values CA

1.2.2

(4 – x) (x + 3) < 0      OR  (x – 4 ) (x + 3) > 0
CV :     x = -3 and  x = 4

x < -3 or x > 4 OR
x ∈ ( -∞; - 3) ∪ (4;∞)

both critical values    A
correct notation for each interval      CA

Accept Number Line (3)
12

1.3

y = 3x - 8
x2 - xy + y2 = 39
x2 - x (3x - 8) + (3x - 8)2 = 39
x2 - 3x2 + 8x + 9x2 - 48x + 64 - 39 = 0
7x2 - 40x + 25 = 0
(x - 5)(7x - 5) = 0 OR
x = - (-40) ± √(40)2 - 4(7)(25)
                      2(7)
x = 5   or x = 5/7OR  0,71
y = 3(5) - 8 = 7  or  y = 3(5/7) - 8 = - 41/7

OR  
y ≈ - 5,86

OR
y = 3x - 8
x2 - xy + y2 = 39
x y + 8
        3
x2 - xy + y2 = 39
(y + 8)2 - y(y + 8) + y2 = 39 
    3               3 
y2 +16 y + 64 - 2 - 8y +  y2 = 39
           9           3       3 
y2 +16y + 64 - 3y2 - 24y + 9y2 = 351
7y2 - 8y - 287 = 0
( y - 7)(7 y + 41) = 0 OR
x = -(-40) ± √(40)2 - 4(7)(25)
                     2(7)
y = 7  or  y = - 41/7OR  y ≈ - 5,86
                                  - 41 + 8
x 7 + 8 = 5 or  x   7        =
         3                          3          7
OR  x  0,71

substitution      A 

S    CA
standard form CA

factors or formula CA

both x-values   CA

both y-values CA

OR

substitution   A
S     CA

standard form CA

factors/ formula CA

both y-values CA

both x-values CA

(6)

1.4.1

V = I x Z
I =      OR   I = VZ-1
     Z

dividing by (1)

1.4.2

I =
     Z
=   7i  
   3 - i
=   7i    3 +
    3 - i    3 + i
21i + 7i2
      9 - i2
21i + 7(-1)
      9 - (-1)
= - 7 + 21i    OR – 0,7 + 2,1i OR
       10
- 721i
10    10

substitution CA
M    multiply by 3 + i
                         3 + i   
A
S    CA
value of i2    A
value of current     CA
NPU

(5)

1.5

       1  0   12
       x  1   12
       1   0  1
+  1   0  1  0
   1  1   1   1

OR
1012 x 112 =5 x 3 = 15 OR 11112

M        A
11112      A

OR 
both 5 and 3      A
1111    OR 15     A
AO: Full marks   (2)

[25]

  

QUESTION 2

2.1.1

G = √ p + 1 
         2p - 1

2 p -1 = 0
p = ½ 

p = ½     
(1)

2.1.2

p +1 = 0
p = -1

 p = -1        A
(1)

2.2

x2 - k + 4 = 5x
x2 - 5x - k + 4 = 0
b2 - 4ac ≥ 0
( - 5)2 - 4(1)( - k + 4)  0 

25 + 4k -16 0
4k + 9 0
k  -  9/4

standard form      A
the discriminant  0      A
SF           A
S    CA
values of   CA

(5)

[7]

 

QUESTION 3

3.1

(- 2 4a3 )8
= (-2)8 (a3 )8/4
= 256 a6

256      A
a6   (2)

3.2 

log2 (3x - 2) + log20,5 = 3
log2 (3x - 2) + log2 2-1   = 3
log2 (3x - 2) - 1 = 3
log2 (3x - 2) = 4
(3x - 2) = 24
3x - 2 = 16
x = 6

OR
log2 (3x - 2) + log20,5 = 3
log2 (0,5)(3x - 2) = 3
(0, 5)(3x - 2) = 23
(0,5)(3x - 2) = 8
3x - 2 =16
x = 6

OR
log2 (3x - 2) + log2 0,5 = 3
log2 (3x - 2) = 3 - log2 0,5
log2 (3x - 2) = 3log22 - log2 0,5
log2 (3x - 2) = log2 8 - log2 0,5
log  (3x - 2) =log2(8/0.5)
3x - 2 =16
x = 6

OR
log2 0,5(3x - 2) = log223
log2 0,5(3x - 2) = log2 8
0,5(3x - 2) = 8
3x - 2= 16
x = 6

OR
log2 (3x - 2) + log2 0,5 = 3
log2(3x - 2) - log2 2 = 3
log2 (3x - 2) = 3
           2  
(3x - 2) = 23
     2
3x - 2 = 16
x = 6

log2 0, 5 =-1     A
S            CA
exponential form  CA
correct value   CA

OR
log property  A
exponential form   A
S      CA
correct value  CA

OR 

log property   A
log property    A
S              CA

correct value CA
log property     A
ü log property    A
S          CA

correct value  CA

OR
log property       A
log property       A
S               CA

correct value CA
(4)

3.3

log 0, 6
= log( 0, 6 )½ OR log (0,3 x 2 )½  OR log ( 0,2 x 3 )½ 
= ½ log(6/10)  OR  ½ log(0,3 x 2 ) OR ½ log (0,2 x 3)
= ½ log(3 x 2
               10
= ½ ( log 3 + log 2 - log10) 
= ½ ( b a - 1 )      OR/ ½ b + ½ a - ½ 

OR
log √0, 6 = log √3/5
= ½ log 3 - ½ log 5
√log 0 , 6 = ½ log 3 + ½(log 2 -log10)
= ½ ( b + a - 1 ) OR  ½ b + ½ a - ½  

exp. form A
conversion of  0,6 A
log property A
log10 =1 CA
substitution CA

OR
conversion of 0,6 A
log property  A
conversion of log 5 A
log10 =1  CA
substitution  CA

(5)

3.4.1

V = 2(cos 240° + i sin 240°)
OR
V = 2(cos 3/4π + i sin 3/4π )

Value of V
1)
3.4.2

V = 2(cos 240°+ i sin 240°) OR
V = 2(cos3/4π + i sin3/4π )
V = 2 (-½  - √3/2i) 
V = - 1 -√ 3 i

OR
θ = 60° [ref angle]
tan 60° =√3 =  √3/-1 
V = -1- √3i

CA from Q/3.4.1
value of cos 240° OR cos3/4π
CA
value of sin 240° OR sin3/4π
CA
V in rect. form   CA

OR
ref. angle  A
tan ratio  A
V in rect form CA
AO: Full marks  (3)

3.5

m + ni = 2(6 - 4i)- (- 7i)
=12 -8i + 7i = 12 -i
m = 12  and  n = -1

OR
m = 2(6) = 12and n = 2( - 4) -( -7) =-1

value of m  A
value of n    A

OR
value of m   A
value of n   (2)
AO: Full marks   [17]

 

QUESTION 4

4.1.1

( x - 5)( x + 3) = 0
x = 5 or x = -3 OR (5;0) and  (-3;0)

both values of A
(1)

4.1.2

q (x) = 12  - 2
           x
12 - 2 = 0
 x
2x = 12
x = 6   OR   (6; 0)

OR
q (x) =+ p
           x
x = a   [q (x) = 0 ]
    - p
=  12  
   -(-2)
= 6    OR  (6; 0)

y = 0     A
x - value   CA

OR
y = 0       A
x - value

CA (2)

AO: Full marks

4.1.3

x = 5 - 3 = 1
        2
k (1) = (1- 5)(1+ 3) = -16
TP/DP    (1; -16 )

OR
( x - 5)( x + 3) = 0
x2 - 2x -15 = 0
x = - b = -(-2) = 1
      2a    2 (1)
k (1) = (1) - 2 (1) -15 = -16  OR
y = 4ac - b2=  4(1)(-15) -(-2)= -16
         4a                4 (1)

TP( 1 ; -16) 

OR
k / (x) = 2x - 2
2x - 2 = 0
x = 1
k(1) = (1)2  - 2(1)-15 = -16
TP (1 ;-16)

M   CA
x = 1
y = -16

OR
M  CA
x = 1
y = -16 

OR
M   A
x = 1  
y = -16  CA

4.1.4

y = -2
x = 0

y = -2
x = 0 (2)

4.1.5 13

Graph:
x-intercepts   CA
y-intercept  CA
shape      A
turning point CA

Graph q:
hor. asympt A
x-intercepts CA
shape A   (7)

4.2.1  d = -4

value of  A
Accept  (1)

4.2.2

h(x) = ax - 4
- 2 = a-1 - 4
a = ½
h(x) = (½)x - 4

substitution CA
correct value of   CA
(2)

4.2.3 h ( 0 ) = a0  - 4  OR h(0) =  (0, 5)  - 4 
T ( 0 ; - 3)

x = 0  A
y = - 3  CA  (2)

4.2.4 y∈ [ - 3 ; 0] OR - 3 ≤ y ≤ 0

range  CA (1)

4.2.5

p ( x ) = -√ 9 - x2
w( x ) = √ 9 - x2  
OR    
w(x) =√r2  - x2

equation of CA
equation of CA (2) 

AO: Full marks

4.2.6 0 < x ≤ 3  OR  x ∈ (0 ; 3)

endpoints    A
correct notation (2)

[25]

  

QUESTION 5

5.1.1

R11 000

new value  (1)

5.1.2

A = R5 500    P = R11 000  n = 5  i = ?
A = P(1-in)
R5 500 = R11 000(1- i  x (5))
      R5 500   -1
i = R11 000     
          -5
= 0,10
= 10%

SF     CA
making i the subject/ CA
interest rate    CA

AO: Full marks  (3)

5.2 #

A = P( 1 + i )n
273 = 200 ( 1 + 3, 5% )n
273 = ( 1, 035 )n
200
           log 273
n           200  OR n = log1,035  273
      log(1, 035)                           200
≈ 9, 04 years
the year 2018 

OR
A1 = R200 (1+ 3,5%)1 ≈ R207
A2 = R200 (1+ 3,5%)2 ≈ R214,25
A9 = R200 (1+ 3,5%)9  ≈ R272,58
A10  = R200 (1+ 3,5%)10 ≈ R282,12
the year 2018

SF           A
S           CA
log property  CA
value of CA
correct year CA

OR
SF        A
S        CA
SF           A
S           CA
correct year  CA
NOTE:
Accept 2019
NPR (5)

5.3

Value of the investment after initial deposit:
A = P(1+ i )n
= R293 000 (1 + 6, 7 %)2x4 
                              4
R 334 642, 4791
R334 642,4791+ R95 000 = R429 642,4791

Value of the investment after adding R95 000 :
= 429 642, 4791 (1+ 6, 7 %)2x4 
                                     4
R490 705, 2026

Value of the investment after change in interest rate:
= R490705, 2026 (1+ 7.5 %)4x12 
                                     4
R661 764, 62 > R 660580

Yes she has accumulated sufficient funds.

OR
14

Yes she has accumulated sufficient funds.

OR
14
R 661 764 , 62 > R 660 580
Yes she has accumulated sufficient funds. 

OR
15.png
R 282 547 , 91    < R 293 000
Yes she has accumulated sufficient funds. 

OR
16

2 years:
A = P(1+ i)n  = R293 000 (1+ 0, 068...)2  + R95 000
R 429 642, 48
4th year:
A = R429 642, 48 (1+ 0, 068...)2  » R490 705, 20
5 – 8 years:

A = R490705, 2026 (1+ 7.5 %)4 x 12 
                                         4
R661 764,62  > R 660580
Yes she has accumulated sufficient funds

OR
A = P(1+ i )n
A0 = R293 000 ( 1 + 0, 067)4x4  
                                     4
R 382 203, 3749
A1  = R382 203, 3749 (1 + 0, 075)4x12 
                                              12
R 515 439,147

A2 = R95 000 ( 1+ 0, 067)2x4  
                                 4
R108 501,8277
A3  = R108 501,8277(1 + 0, 075)4x12
                                             12
R146 325, 4728
A1 + A3    »   R661 764,62 > R 660580
Yes she has accumulated sufficient funds

SF         A
S              CA
S           CA
SF                      A
S                     CA

value of i and n   A
S                     CA
conclusion CA

OR

M                      A
SF                   A
value of i and n  A
adding
R95 000       A
change of rate            A
S                      CA
conclusion  CA

OR

M    

SF  A
value of i and n  A
adding R95 000 with interests  A
change of rate              A
S                      CA
conclusion  CA

OR
M              A
SF            A
value of i and n  A
subtracting R95 000 with interests         A
change of rate            A
S                      CA
conclusion  CA

OR
SF                A
S                     CA
SF                  CA
S                     CAa
S                     CA
value of i and n  A
S                   CA
conclusion  CA OR
SF                      A
S                     CA
SF                      A
S                     CA
S                     CA
value of i and A

NOTE:

1) Max. 4 marks if Simple Interest is used.
2)  Max. 2 marks if any Depreciation is used.

 


QUESTION 6
  

6.1

f ( x ) = 5 - ½ x
( x ) = lim f ( x + h ) - f ( x )
h→0                   h
17

definition  A
SF         A
S                  CA

AO: ONLY 1 mark
Penalty of 1 mark for incorrect notation
(5)

No penalty for notation in the remaining questions

6.2.1

f ( x ) = a3 - 0, 5x3 - x-1
f / ( x ) = 0 - 1, 5x2 + x-2OR
 - 1, 5x2 + x-2

derivative of   a3 A
-1, 5x 2         A
x -2      A
(3)

6.2.2

18

x½          A
product    CA
3/2 x½    CA
CA   (4)

6.3.1

xy + 2x3 = 7x6
y = 7x6 - 2x3 OR  = 7x5  - 2x2
           x

M          A
making y the subject (2)

6.3.2

y = 7x5 - 2x2
dy = 35x 4 - 4
dx

35x4    CA
- 4x    CA  (2)

6.4.1

P(300) = 0,8(300)  - 200(300)
= R12 000

profit           (1)

6.4.2

P(x) = 0,8 x2 - 200x
0,8 x2 - 200x = 0
x (0,8 x - 200) = 0
x = 0 or x = 250
250 light bulbs

OR
0,8 x2 - 200 x = 0
0,8 x2 = 200 x
x = 200 x    ; x ≠
     0 0,8x
x = 250
250 light bulbs

factors M         A
correct value of        CA

OR
isolating x
M      A
correct value of  x       CA

AO: Full marks

(2)

6.4.3

P(x) = 0,8 x2 - 200x
P/(x) = 1, 6 x - 200
P/(200) = 1, 6 (200) - 200
=120 bulbs per day

derivative     A
substitution CA
rate          CA 
NPU  (3)

[22]

   

QUESTION 7

7.1

g ( x ) = 9x + 18
x-intercept/ afsnit, g ( x ) = 0
0 = 9x + 18
- 9x = 18
x = - 2
Q( - 2 ; 0 )
y-intercept, x = 0
T ( 0 ; 18 )

OR 
( x + 2 ) ( x - 3)( x - 3) = 0
Q( - 2 ; 0 )
y-intercept, x = 0
T ( 0 ; 18 )

0 = 9x + 18              A
coordinates of Q       
coordinates of T     A
OR
M          A
coordinates of Q      A
coordinates of T      A
AO: Full marks 
(3)

7.2

f ( x) = ( x + 2)( x - 3)( x - 3)
= ( x + 2)( x2 - 6x + 9) OR ( x - 3)( x2 - x - 6)
f ( x ) = x3 - 4x2 -3x + 18
b =- 4       c =- 3      d = 18

OR
f ( x ) = x3 + bx2 + cx + d
f ( x ) = x3 + bx2 + cx + 18
f ( - 2) = 0 : 2b - c = - 5        ….(1)
f ( 3) = 0 :  3b + c = - 15 (2)
(1) + (2): 5b   = - 20
b = - 4
2(-4) - c = - 5
c = - 3 

OR
f ( x ) = x3 + bx2 + cx + d
f ( x ) = x3 + bx2 + cx + 18
0 = (3)3 + b(3)2 + c(3) + 18
0 = 45 + 9b + 3c
c = - 15 - 3b
f / (c) = 3x2 + 2bx + c
f / (3) = 3(3)2 + 2b(3) + c
c = - 27 - 6b
- 15 - 3b = - 27 - 6b
b = - 4
c = - 27 - 6(- 4)
c = - 3

repeated factor       A
quadratic factor    A
expanding  A

OR

d = 18    A
S         A
S      A

OR

d = 18
S
S

7.3

f ( x ) = x3 - 4x2 - 3x + 18
f / (x ) = 3x2 - 8x - 3 = 0
3x2 - 8x - 3 = 0
( 3x + 1)( x - 3) = 0 OR  x = -(-8) ± (-8)2 - 4(3)(-3)
                                                       2(3)
x = -1/3 or x ≠ 3
19

f / (x )  CA
f / (x ) = 0 CA
factors/formula   CA
correct value of  x    CA

R coordinates  CA

(5)

7.4.1 y =  500    OR   y ≈ 18, 52
        27
equation CA
7.4.2 x > - 2  OR  x ∈ ( - 2 ; ∞)

correct inequality     A  (1)

7.4.3 - 1 < x < 3  OR x ∈ (-1/3)

critical values CA
correct notation    CA (2)

[15]

 

QUESTION 8 

8.1

h = ( 66 - 2x - x) cm
=( 66 - 3x ) cm

height  A  (1)
NPU

8.2

V (in cm3 ) = πr 2h + ½ (4/3πr3)
= πx2( 66 - 3x ) + ½ (4/3πx3)
= 66p x2 - 3p x3 + 2/3πx
= 66p x2 - 7/3πx3

F        A
SF      CA
S       CA
NPU  (3)

8.3

V( in cm3 ) = 66πx2 - 7/3πx3
d= - 7πx 2 + 132π x
dx
0 = -7πx 2 + 132π
0 = -p x ( 7x - 132 ) OR  x =-(132π ) ± √(132π )2 - 4(-7π )(0)
                                                               2(-7π)
-πx = 0 or x = 132
                        7
x ≠ 0
x 132
        7

derivative CA
equating f / (x) A
factors/ formula  CA

correct value ofCA

(4)

8.4

V(in cm3) = 66πx2 - 7πx 3
= 66π(132)27/3 π(132)
              7                 7
24 576,74  OR  7823,02π

SF    CA
max volume CA

NPR      (2) [10]

 

QUESTION 9

9.1.1

mxpdx
= m(p+1) + C p ≠ 1
        p + 1 
OR
= mx p + 1  + C p ≠ -1
     p + 1

C           A

OR
mx p + 1  
     p + 1
C      (2)

9.1.2

20

- 2x1 + C        CA (4)

9.2 21

area notation using integral   A
integral      A
substitution CA
substitution CA
S        CA

correct positive value of the bounded area         CA

OR

area notation using integral     A
integral        A
substitution  CA
substitution CA
S            CA
correct positive value of the bounded area CA

OR

area notation using integral     A
integral        A
substitution  CA
substitution CA
S            CA
correct positive value of the bounded area CA
NPR & NPU (6)

[12]

    TOTAL:150
Last modified on Tuesday, 30 November 2021 06:55